DeaconBlues

Re: ログイン画面がほとんど表示されなくなった

上記のエラー
PHP Fatal error: Uncaught PDOException: SQLSTATE[HY000]: General error: 2006 MySQL server has gone away in
これもタイムアウトの問題の可能性が高いエラーのようですね。

ブラウザのキャッシュを削除されたとのことですが、
サーバのキャッシュやアプリケーションのキャッシュは削除してみましたか？

あくまでもこれまでの経験からの推測ではあるのですが、
ログインログアウト時にタイムアウトのエラーが発生する・・・、
→何か重い読み込みなどをしている・・・、
→重いとすれば、キャッシュの読み込みに時間がかかっている・・・、
→ひょっとしたらキャッシュの内容が壊れておかしなことになっている・・・、
→そもそもキャッシュを読み込む途中で止まっている・・・、
こんな感じなのかもしれないなんて思います。

concrete5の管理画面にもキャッシュの削除があり、
通常はこちらの削除だけで事足りるのですが、
サーバ内のキャッシュフォルダをフォルダごと削除した場合、
また違った挙動になることがありますので、
こちらを削除してみたらどうでしょうか？

サーバ内のキャッシュフォルダは、
application/files/cache
です。

これを丸ごと削除しても、サイトに再度アクセスすると自動で作成されるので、
削除しても問題はないはずです。
※ サイトを引越ししたり、別サーバにコピーを作ったりするときによくやります。
確かサイトの移転関連のドキュメントに書いてあった気がします。
http://concrete5-japan.org/help/5-7/developer/installation/moving-a-site/

確証は全くなく、サーバ側を直接いじりますので、
作業はご自身の判断にお任せしますが、
これでうまくいったらいいですね。