cueさん、情報ありがとうございました。
私も念のためにサブのサイトを同じ状況で作成していますが正常に動作しています。
このまま改善方法がなければサイトを再インストールしなければなりません。
何か不具合があるといつも再インストールで大変な作業となっています。
不具合が起こりやすいことは否めないんですね。
引き続き情報は頂きたいですがなければ他の方法も検討します。
ありがとうございました。

Xserverで詳しく調査をした頂いた結果を下記に記載しますのでご提案があれば宜しくお願い致します。なければ今後の開発にお役立て下さい。

「concrete5の一部プログラム(PHP)において、
データベースとの連携処理に失敗したとのエラーログが出力されていました。」

▼エラーログ
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PHP Fatal error: Uncaught PDOException: SQLSTATE[HY000]: General error: 2006 MySQL server has gone away in /home/user/user.com/public_html/concrete/vendor/doctrine/dbal/lib/Doctrine/DBAL/Driver/PDOStatement.php:105
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データベース側には接続タイムアウトのログが多数出力されているものの、
エラー自体は見られないため、現段階で推測する限りでは、
PHPプログラム側に起因する問題が発生していると思われます。

対策案としては以下のような方法があるため
よろしければお試しくださいますでしょうか。

[A] 【必ず】バックアップを取得した上で、
　　concrete5を再インストールしていただく

[B] データベース側でテーブル名の重複があった場合、
　　該当のエラーが発生することがあるため
　　お客様側でテーブル名の精査を行ってください

上記のエラー
PHP Fatal error: Uncaught PDOException: SQLSTATE[HY000]: General error: 2006 MySQL server has gone away in
これもタイムアウトの問題の可能性が高いエラーのようですね。

ブラウザのキャッシュを削除されたとのことですが、
サーバのキャッシュやアプリケーションのキャッシュは削除してみましたか？

あくまでもこれまでの経験からの推測ではあるのですが、
ログインログアウト時にタイムアウトのエラーが発生する・・・、
→何か重い読み込みなどをしている・・・、
→重いとすれば、キャッシュの読み込みに時間がかかっている・・・、
→ひょっとしたらキャッシュの内容が壊れておかしなことになっている・・・、
→そもそもキャッシュを読み込む途中で止まっている・・・、
こんな感じなのかもしれないなんて思います。

concrete5の管理画面にもキャッシュの削除があり、
通常はこちらの削除だけで事足りるのですが、
サーバ内のキャッシュフォルダをフォルダごと削除した場合、
また違った挙動になることがありますので、
こちらを削除してみたらどうでしょうか？

サーバ内のキャッシュフォルダは、
application/files/cache
です。

これを丸ごと削除しても、サイトに再度アクセスすると自動で作成されるので、
削除しても問題はないはずです。
※ サイトを引越ししたり、別サーバにコピーを作ったりするときによくやります。
確かサイトの移転関連のドキュメントに書いてあった気がします。
http://concrete5-japan.org/help/5-7/developer/installation/moving-a-site/

確証は全くなく、サーバ側を直接いじりますので、
作業はご自身の判断にお任せしますが、
これでうまくいったらいいですね。

DeaconBlues様、ありがとうございます。
返信頂いた通りにapplication/files/cacheのファイルを削除しましたが同じ状態で改善しません。

ブラウザキャッシュなども削除していてもう手が尽くせない状態です。
アドバイス頂き、ありがとうございました。