早速のご返信ありがとうございます。

現在、サーバーの方ではPHP5.2への変更ができませんので、
ご提案いただいた中の、後者になると思います。

初心者なもので、具体的なアップデート作業方法をご教示いただければと思います。
現在エラーで閲覧できないページのデータに関しては、ダウンロードは可能です。

よろしくお願いします。

まず、ローカルで（レンタルサーバーではなく、お使いのパソコン上で）concrete5が動く環境を作りましょう。

MacならMAMP
http://www.mamp.info/en/

WindowsならXAMPP
http://www.apachefriends.org/index.html

これらのソフトを使って、練習のためにローカルでまずconcrete5の新規インストールをしましょう。使ったことがあるなら次に進んでください。

次に、MAMPまたはXAMPPで動くPHPのバージョンをPHP5.2系か、またはそれ以下に切り替えます。MAMPは確か標準機能で切り替えられます。XAMPPは普段使ってないのですが、できそう
http://seo.fiverworks.com/pc%E9%96%A2%E9%80%A3/%EF%BC%91%E3%81%A4%E3%81%AExampp%E3%81%A7%E3%80%81%E8%A4%87%E6%95%B0%E3%81%AE%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%...

次に、下記のヘルプを参考にレンタルサーバー上のファイルとMySQLデータベースのエクスポートデータを元にローカル上に（MAMPまたはXAMMP上に）5.4.2.2の状態のサイトの複製を作ります。
http://concrete5-japan.org/help/install/how-to-restore/

ここまできたらあと一歩。ヘルプを参考に、バージョンアップを進めます。
http://concrete5-japan.org/help/install/how_to_upgrade/

まず5.4.2.2から5.5.2.1にアップデートします。成功したら、PHPのバージョンを新しいのに切り替えます。それから、5.6.3.1までアップデートします。

5.6.3.1までアップデートが成功したら、今度はローカルのconcrete5のデータをレンタルサーバー上に引っ越し直します。

まずはざっくり書きましたので、詰まったところがあればまた投稿してください

わざわざありがとうございますm(_ _)m
バックアップしたデータを使用して、ローカルでチャレンジしようと思います！
また不明点が出てきたら、返信させて頂きます。
その際は、ご迷惑をお掛けしますが、ご教示よろしくお願いします。

間が合いてしまいましたが、壁にぶち当たってしまいましたので、ご教示ください。

windowsにXAMPPをインストールして、PHPのバージョンを参考URLを見て変更しましたが、
うまく動作せず、windowsを諦めて、macのMAMPに切り替えました。

MAMPへConcrete5のデータを、ディレクトリ「concrete5」へ移し、
PHPを5.2.17へ変更、phpmyadminでMySQLのインポートを行いました。

site.phpのMySQLの情報を変更しましたが、
「BASE_URL」を「localhost/concrete5」にしましたが、
ブラウザで確認すると、「localhost/concrete5/localhost/concrete5」や
「localhost/localhost/concrete5」などURLが安定しません。

MySQL内のデータはまだどこも編集はしていません。
ほかにファイルを変更する箇所があるのでしょうか。

よろしくお願いします。

この設定にしてください

define('BASE_URL', 'http://localhost');
define('DIR_REL', '/concrete5');

site.phpの設定を変更し、無事アクセスできました。
アップデートも5.6.3まで完了しました。
ありがとうございました。

ローカルからサーバーにアップロードするのですが、
全てのファイルを上書きしてしまって大丈夫なのでしょうか。
または、ある限られたファイルのみアップロードで大丈夫なのでしょうか。

最後の最後まですいません。
よろしくお願いします。

基本的には全て上書きで構いませんが、転送量節約のためには、files以下はもともとサーバー側で先にアップロード済みのものをダウンロードしたはずですから、再度アップロードしてもしなくてもいいでしょう。また、config/site.phpはアップロード後に再度データベース接続情報などを戻す必要があります。

ありがとうございました。
ですが、最後の最後で壁にぶち当たりました。
files以外のファイルと、site.phpの内容を変更し、アップロードした所、
下記のようなエラーが発生しました。
MySQLのエラーのようですが、MySQL内の修正を行なうのでしょうか。
最後まで申し訳ないのですが、ご教示お願いします。

Fatal error: Uncaught exception 'ADODB_Exception' with message 'mysqlt error: [1054: Unknown column 'logUserID' in 'field list'] in EXECUTE("insert into Logs (logType, logText, logIsInternal, logUserID) values ('exceptions', 'Exception Occurred: /サーバー/updates/concrete5.6.3.1.ja_updater/concrete/libraries/3rdparty/adodb/adodb-exceptions.inc.php:78 mysqlt error: [1146: Table \'データベース名.PermissionKeys\' doesn\'t exist] in EXECUTE("select pkID, pkName, pkDescription, pkHandle, pkCategoryHandle, pkCanTriggerWorkflow, pkHasCustomClass, PermissionKeys.pkCategoryID, pkCategoryHandle, PermissionKeys.pkgID from PermissionKeys inner join PermissionKeyCategories on PermissionKeyCategories.pkCategoryID = PermissionKeys.pkCategoryID")\n (1146)\n\n#0 /サーバー/updates/concrete5.6.3.1.ja_updater/concrete/libraries/3rdparty/adodb/adodb.inc.php(1074): adodb_throw(\'mysqlt\', \'EXECUTE\', 1146, \'Table \'sddb0040...\', \'s in /サーバー/updates/concrete5.6.3.1.ja_updater/concrete/libraries/3rdparty/adodb/adodb-exceptions.inc.php on line 78

ローカルでバージョンアップを行なわれたのですよね。その際に、MySQLのデータベースの構造も自動的に更新されています。ですので、公開サイトに反映する際、ローカルで作成したデータベースのバックアップ（エクスポート、またはダンプとも言う）を、公開サイト側でインポートする必要があります。