もし5.5.2.1までアップグレードした直後に試しておられるのだとしたら、管理画面のキャッシュのクリアをお試しください。

早急なご返信ありがとうございます。
キャッシュのクリアおこなったのですが。だめでした。。
アップグレード直後に、
【キャッシュ & スピード設定】
・基本キャッシュ→オフ - サイト開発中に最適
・フルページキャッシュ→ 無効 - 各ページで設定しない限り、キャッシュ不許可。
にもしております。

他に考えられる対応策はありますでしょうか？
また、アップグレード時に何か不具合があるようなことをしてしまったのでしょうか。。
もしあれば次回より気をつけたいと思います。

btDisplayOrder は 日本語版では 5.6.0.2からの機能です。5.5.2.1では存在しません。
もしかすると、一度5.6.0.2にアップデートされた後で5.5.2.1にダウングレードされてませんでしょうか？
解決策は英語のフォーラムに掲載されています。
http://www.concrete5.org/community/forums/customizing_c5/addons-installation-error/#424030

レンタルサーバーだとphpmyadmin などを使用して、
BlockTypes テーブルのbtDisplayOrder フィールドを削除すると直るようです。

ただし、保証された解決策ではないようですので
テスト環境を作成したり、データベースをバックアップしたりしてから試してください。

解決前に確認事項：
１、デザイナーコンテンツをインストール後すぐあとのエラーですか？
２、デザイナーコンテンツをインストール後、ブロックの作成時点でのエラーですか？

解決方法：下記をご参照ください。

- [初級者編]
[解決１]concrete5をインストールし直す。（推奨）
[解決２]別のconcrete5 の designer conctents が正常稼働しているサイト上で。
　　ア）、ブロックを作成する。
　　イ）、作成されたブロックは、ルート/block/作成したブロック名
　　　　　それをファルダーごとにコピー。
　　ウ）、コピーしたブロックを本番サイト ルート/block/
　　　　　へ　アップする。
　　エ）、ログイン＞ダッシュボード＞スタック＞ブロックタイプ
　　　　　インストール待ちでアップしたブロック名をインストールする。
　　
- [中級者編]：concrete5 のインストのし直しが出来ないならば。
[解決１]：下記の環境を　お手持ちのPC内で環境を作る。
・　本番サーバーの ルートのディレクトリーファイル一式
・　本番サーバーの お使いのconcrete5のデーターベース
・　上記２つを、お手持ちのPCの仮想環境（ローカル環境）内に
　　本番サイトと同じ物をビルドする。
・　キャッシュのクリア。
・　デザイナーコンテンツをインストールしてみる。

- [上級者編]
[解決１]：仮想環境で作成した、concrete5 のデーターベースをいじる
・　中級者編で作った仮想環境内でテスト。（トライ＆ゴーの繰り返し）
・　インストール前のデザイナーコンテンツで、mySQLデーターベース内のテーブルの
　　DesignerContents 関連を一度削除する。
・　デザイナーコンテンツインストールしてみる。

- [超上級者編]
[解決１]：上級者編で解決したものを本番環境へ。（完全自己責任！）
・サーバーの知識有り、サーバーを扱い慣れている方のみに有効。
　　専用サーバー上のみ推奨と、サーバーに責任がとれる方のみ。
　（Cloud/VPS/共有サーバーなどでは、絶対にしない事。）
・上級者編で解決したconcrete5+DBを直接、本番サーバーにアップする。
　（出来れば絶対にしないでください。）

ひとつづつ原因を探り出すしかないかと思います。以上です。

詳しい解決方法をありがとうございます。

デザイナーコンテンツをインストール後、ブロックの作成時点でのエラーです。

＞ブロック作成時エラー

上記であれば。。。

確認事項：
１、concrete5 rooot / block / 作成された [ブロック名] が作成されていませんか？まず確認。
２、エラーログが、データーベースエラーです。
　　疑うのは、concrete5 バージョン毎（アップデートの為）のエラーなのか？
　　デザイナーコンテンツ自体のエラーなのか？
　　作成されたブロックのエラーなのか？ということです。

私自身もデザイナーコンテンツを作成した際、上記のエラーがあったことがあります。
あまり記憶さだかではないんだけど、concrete5.5.2.1 あたりだったんじゃないかなー？と思います。そのころちょうどデザイナーコンテンツもバージョンアップを頻繁に行っていたので、ちょっと覚えていないのですが、確かエラーはあっても、ブロックは作成されていて、エラーログ表示に、ブラウザーの戻るボタンで、ダッシュボードに戻っていたはずです。
そして、ちゃんとブロックは作成されていたような気がして、その後最新のデザイナーコンテンツをアップデート後は、正常に機能していたような気がします。

作成さえしていれば、ダッシュボード＞スタック＞ブロックタイプで、確認が出来ます。
もともとデザイナーズコンテンツ自体で、ブロックをお手軽に作成して、あとから、そのファイルを改造する（php/cssつけ）ことが醍醐味なので、エラーが出ると気持ちは悪いのですが、ブロックさえ作成されてしまえば、後は気にならないのも事実です。

しかしながら、あの時以来エラーは出ていなかったはずです。


解決までの道：

- [中級者編]：中級者編の問題かなーと思います。

[解決１]：下記の環境を お手持ちのPC内で環境を作る。
・　本番サーバーの ルートのディレクトリーファイル一式
・　本番サーバーの お使いのconcrete5のデーターベース
・　上記２つを、お手持ちのPCの仮想環境（ローカル環境）内に
　　本番サイトと同じ物をビルドする。
・　キャッシュのクリア。
・　バージョン毎のデザイナーコンテンツをインストールしてみる。
・　バージョン毎のデザイナーコンテンツをインストールして、ブロックを作成してみる。

[解決２]：仮想環境で 新・旧の concrete5 でテスト
・　最新バージョンでの、concrete5.6.0.2 でのテスト環境でトライ＆ゴー。
・　バージョン毎のデザイナーコンテンツをインストールしてみる。
・　バージョン毎のデザイナーコンテンツをインストールして、ブロックを作成してみる。

・　前のバージョンでの、concrete5.5.2.1 でのテスト環境でトライ＆ゴー。
・　ダウングレードは、前のデーターベース残っていれば可能です。（やり方わかりますよね？）
・　バージョン毎のデザイナーコンテンツをインストールしてみる。
・　バージョン毎のデザイナーコンテンツをインストールして、ブロックを作成してみる。

・　デザイナーコンテンツは、本家のサイトから最新と一つ前のをそれぞれダウンロードする。

これで、それぞれのテスト環境が整ったので、テストと状況がわかるかと思います。

[解決３]：解決２で完成したブロックを本番サイトへ。
・ 解決２で作成・調整・修正した完成されたブロックは、本番サイトにアップしても問題はまったくありません。
・ concrete5 / root / blocks / 完成したブロックのフォルダー　へアップ。

もし上記を行い、その結果がわかれば、こちらに報告・協力していただけると大変助かります。

●acliss19xx様
そうです。しました！
5.6.0.2にアップデート後5.5.2.1にダウングレードしました！
そういったこともあるんですね。。全然気にしていなかったです。
ありがとうございます。


●tomoya様
はい、concrete5 rooot / block / 作成された [ブロック名] が作成されています。
しかし私の場合は、
1.作成
↓
2.予期せぬエラーが発生しました。
↓
3.「ホームに戻る。」ボタン押す
↓
4.エラー：ブロックハンドルが空です。
となってしまいます。

ダッシュボード＞スタック＞ブロックタイプの中には作成したブロックが
インストール待ちである状態ですが、インストールボタンを押すと
mysql error: [1048: Column 'btDisplayOrder' cannot be null] in EXECUTE("INSERT INTO BlockTypes(btID,btHandle,btName,btDescription,btActiveWhenAdded,btCopyWhenPropagate,btIncludeAll,btIsInternal,btInterfaceWidth,btInterfaceHeight,pkgID,btDisplayOrder) VALUES (NULL,'e','e','e',1,0,0,0,'700','450',0,NULL)")
上記のようなエラーが出てしまいます。。

詳しく書いていただいた解決までの道を頼りに、やってみます！
（上手くいくか少し不安ですが。。。いや、だいぶ不安ですが。。。ｗ）
ありがとうございます！！


●hissy様
早急な返答ありがとうございました。

5.6.0.2から5.5.2.1 にダウングレードされた場合はデータベースも5.5.2.1仕様にダウングレードしないといけません。できない場合は今回以外の不具合の可能性もあります。
データベースがそのままでダウングレードされたということは
site.php を書き換えただけではないかと推測しますので、
site.php を 書き換えて5.6.0.2 にされるのが一番いい解決策だと思います。