nipperさん
回答いただきまして、ありがとうございます。
容量の小さいファイルで試してみます。

4.4MBのファイルはアップロードできました。
7MBではダメだったので、おそらく現在も容量の上限が5MBまでのようですね。
サーバーのキャパを把握していなかったことが問題だったと結論に達しました。
お騒がせしました。

アップロードファイルサイズの制限は変更できます。

方法は『ヘテムル アップロードサイズ』等でググってください。
ただし、あまり大きくすることはお勧めしないのと、あくまで自己責任でお願いします。

また、どのように動画をお使いになるのかわかりませんが、ファイルサイズが35MBというのもちょっと大きいような気がします...

ありがとうございます。
3分ぐらいの動画で、漠然と容量が35MBは大きいかとは薄々思ってはいましたが、
適度な容量がわからないので、実際動かしたの加減で試行錯誤してみます。

PHPをCGI版にするとコンパネでphp.iniの設定変更ができたので、
max_execution_timeとupload_max_filesizeを最大にして試したところ、
7MBのファイルもアップロードできました。
SSDになったせいか再生も好調です。