ありがとうございます。
site.phpはDBしか書いてないですね。
何もいじらなくてもいいんでしょうか。
>>一度ダウンロードして
ダウンロードせずにディレクトリを変えるだけでもいいのでしょうか。

特に何もいじりませんね。
上げた直後にBASE_URLが古いままの時ありますけど、
1ヶ所だけ適当に修正すると全部変わってくれます。

ドメインが同じ、サーバーが同じであればディレクトリ名の変更でも問題ないと思いますよ。
.htaccessチェックするくらいだと思います。
.htaccessに特に記載が無ければそのままでいけると思いますが・・・

ダウンロードするのはコアな部分は変わらないんですけど、
自分の場合はDB以外のデーターのバックアップも兼ねてという意味合いもあります。