たぶん、16Mでは少なすぎると思います。
.htaccessでmemory_limitが変更できるのであれば、増やしてみてください。

現在、トップディレクトリにアップされている.htaccessには
下記のような記述があります。

---------------------
# -- concrete5 urls start --
<IfModule mod_rewrite.c>
RewriteEngine On
RewriteBase /
RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !-f
RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !-d
RewriteRule ^(.*)$ index.php/$1 [L]
</IfModule>
# -- concrete5 urls end --
---------------------

こちらにmemory_limitを増やすように記述すればよろしいのでしょうか？

詳しいやり方が分からないため、できれば手順について
教えていただけますでしょうか。

お手数をおかけしますが、よろしくお願いいたします。

PHPのメモリー設定はサーバーサイドの内容なので、レンタルサーバー屋さんによっても違います。サーバーのヘルプを見るか、「エックスサーバー memory_limit」「php_value memory_limit htaccess」などで検索してみてください

hissyさん

ご回答いただき、ありがとうございました。
自分なりにいろいろと調べて試してみました。

Xserverの管理画面に「php.ini設定」というところがあったので、
いろいろといじっていたら、limitが200Mになりました。
どうしてこうなったかは不明です。再現性がありません。

結局200Mになっても、上記の不具合は直りませんでした。
どうしたらいいか、途方にくれています・・・

php.iniで、display_errorsをONに出来ればエラーが表示されるので、原因を調べやすくなります。
予想ですが、多分メモリが足りなくてアップデート処理が中途半端になっているのではないでしょうか？
あとメモリ200Mも要らないです。32Mくらいで充分です。
最低13Mあればインストールは可能です。

もう一度、アップグレードスクリプトを走らせてみてくれませんか？

お返事ありがとうございます。

初心者なもので「アップグレードスクリプトを走らせる」
という意味が分かりません・・・

具体的な作業を教えていただけると助かります。

お手数をおかけしますが、よろしくお願いいたします。

アップグレードスクリプト、というのは、アップグレードのページにアクセスすることです。
もしくは自動アップグレードですが。

具体的には

http://【concrete5のURL】/index.php/tools/required/upgrade.php

にアクセスすることです。

一度バックアップをとった以前のDBを復帰させ、その上で上記ファイルのURLへアクセスすればアップグレードスクリプトを走らせる、ということになります。

Xserverのphp.iniの記述を変更されたのであれば、
再アップグレードで、アップグレード時のメモリ不足の問題かどうか切り分けられるかと思います。