PHPのバージョンは原因が分かりました。
.php（シンボリックリンク）を消してしまったせいで、コントロールパネルでは7.3.13になっていても5.5.38と認識されていたのでした。

状況を整理するために、新規にサブドメインを作成して素の状態からやり直しました。
インストールの作業は MacOS 11.6 の Chrome 95.0.4638.69 でします。

Concrete CMS 8.5.6 をインストールして、9.0.1 にアップデートしてみました。
無事にアップデートできたと思ったのですが、管理画面が崩れている状態です。

次に、9.0.1 の新規インストールを試しましたが『データベーステーブルを作成中』から進まずに、Gateway Time-out になります。
サイト名を3文字にしてもインストールできなくなりました。

インストール画面で下記の表示が出ますが、これが関係しているのでしょうか？
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データベースは設定された文字セットと照合をサポートしている必要があります。
このデータベースは全ての Unicode 文字列を完全にサポートしていません。 これは例えば絵文字などが保存できないということです (8.5.0 以前の concrete5 と同じです) データベースをアップグレードして修正してください。
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この表示は、8.5.6 を新規インストールする時にも出ていたのですが、無視して進めればインストールできていましたので・・・。

こんにちは

> 無事にアップデートできたと思ったのですが、管理画面が崩れている状態です。

添付画像を拝見しました。
管理画面を構成する CSS や JS ファイルが読み込まれていないような画面です。
Google Chrome 等の Developer Tools の Network タブを開きながら管理画面を読み込み直してでてくるエラーをみてもらって良いですか？

そのエラーの内容で、キャッシュが更新されていなかったり、ファイルがアップロードされていないなど問題かなと思います。

> 次に、9.0.1 の新規インストールを試しましたが『データベーステーブルを作成中』から進まずに、Gateway Time-out になります。

これ、僕もブラウザからのインストールで同じ現象になりました。
おそらく、サーバーのCPUやディスクの速度が遅くて、処理に時間がかかり過ぎてタイムアウトしていると思われます。

その場合、ブラウザからのインストールではなく、SSH からのインストールで試して欲しいです。

ssh でログインし、コンクリがインストールされているディレクトリに移動します。

そうして

concrete/bin/concrete5 c5:install -i

というコマンドを入れて実行すると、ブラウザで入力するような、サイト情報や MySQL サーバー情報を順番に入れていきインストールすることができます。

SSH でのインストールを試してもらえますか？

ただしいPHPバージョンを SSH で実行するのはどのコマンドか・・・サポートに問い合わせても話が噛み合わない状態でして。基本的にSSHでの操作はサポート外。
SSHでバージョンを確認したければ、下記のパスになることまでは聞いた状態です。

ssh$ /usr/local/php7.3/bin/php-cgi -v
PHP 7.3.13 (cgi-fcgi) (built: Dec 19 2019 11:09:05)
Copyright (c) 1997-2018 The PHP Group
Zend Engine v3.3.13, Copyright (c) 1998-2018 Zend Technologies
with Zend OPcache v7.3.13, Copyright (c) 1999-2018, by Zend Technologies

php -v ですと、バージョンは5.2.22と認識されてしまいますので。

お、ありがとうございます。

このコマンドの結果を教えていただけますか？

ls /usr/local/php7.3/bin/

そして、次に

ls -al ~/

の結果も教えていただけますか？
その中に、

.bashrc
.bash_profile

などの設定用ファイルがあると思うので、
その中身を見せていただけますか？
もしも、アカウントIDなど、個人を特定できる様なものが入っていたら、
あらかじめ、パスからはずしてください。

それで、具体的な設定方法をお教えできます。

よろしくお願いします。

コメントありがとうございます。

ssh$ ls -al /usr/local/php7.3/bin/
total 67411
drwxr-xr-x 2 root root 12 Feb 19 2020 .
drwxr-xr-x 8 root root 8 Feb 19 2020 ..
-rwxr-xr-x 1 root root 870 Dec 24 2019 pear
-rwxr-xr-x 1 root root 891 Dec 24 2019 peardev
-rwxr-xr-x 1 root root 804 Dec 24 2019 pecl
lrwxrwxrwx 1 root root 9 Feb 19 2020 phar -> phar.phar
-rwxr-xr-x 1 root root 14824 Dec 24 2019 phar.phar
-rwxr-xr-x 1 root root 22881632 Dec 24 2019 php
-rwxr-xr-x 1 root root 22802240 Dec 24 2019 php-cgi
-rwxr-xr-x 1 root root 3667 Dec 24 2019 php-config
-rwxr-xr-x 1 root root 23120576 Dec 24 2019 phpdbg
-rwxr-xr-x 1 root root 4589 Dec 24 2019 phpize

ssh$ ls -al ~/
このディレクトリには、所持している各ドメインのディレクトリ以外はバックアップ・アクセス解析・ログのディレクトリだけです。
.bashrc
.bash_profile
は、ありません・・・念の為に上位のディレクトリや各ドメインのフォルダ内も見ましたが、ありませんでした。

色々お付き合い頂きまして、ありがとうございます。

お名前.comのSD共用サーバーは、サービス開設当初の古い構成ですので・・・これを機会に新しいサービスに移行しようと思いました。
新規でお名前.comの共用サーバーを契約される方は、RSサーバー１択になってしまいましたので、SD共用サーバーで苦労する意味も無くなるでしょうから。

新しい共用サーバーは、スピードもコストも良くなって移行しない手はないと思うのですが、個人的な理由で・・・新しいサービスでは、サイトごとにPHPのバージョンを変更できないのがネックだったのです。
PHPのバージョンを上げる前に、２つのバージョンで動かして不具合がないかどうか確認できたのが魅力的だったのです。

しかし・・・引っ越しが面倒ですね。
WordPressの「All-in-One WP Migration」のようなプラグインが、ConcreteCMSにもあると助かるのですが。