自己レスです。
別階層にインストールしたところ、正常にカスタム属性の画面が出ました。

もう一度データベースのバックアップをとって、インストールしなおしたほうが良いのでしょうかね？

自己レス。

別の階層を切ったテストのc5が正常に動きましたので、
今度は問題のc5のsite.phpを書き換え、テストでインストールしたDB情報に書き換えてみました。
すると、しっかりカスタム属性の画面が表示されます。

ということは、さくらから引っ越してきたDBに問題あり、ということでしょうか…

照合順序（utf8_general_ci）やデータ型（InnoDB）が変わったりしていませんか？

照合順序はすべてutf8_general_ciでした。
データ型は、いくつかMyISAMがあります。
すべてInnoDBでなければいけないのでしょうか？

FileVersions, PageSearchIndex, PageStatistics はMyISAMで、それ以外はInnoDBですね〜

根本的解決ではありませんが、取り敢えず復旧しました。

先ほど指摘してもらった３つのテーブル以外にMyISAMだったものをチェックすると、すべてMultiple Domainsというアドオンが作ったテーブルでした。
そこで、このアドオンをアンインストールしたところ、カスタム属性の画面は表示されました。

現在のこのアドオンは使用方法を上手く理解していなかったので、このアドオンの機能としては特に必要ありませんでした。一旦外して様子をみます。

ありがとうございました。