一般的にはApacheの設定を変更すれば可能なんですが、使われているサーバーは変更できるところですか？
使われているサーバーでどういう設定ができるかによります。

ドメインキングを使用していますが、Apacheは変更できないようです…

concrete5のzipファイルをダウンロードして解凍し、その中身だけをサーバーにアップロードすれば、URLにconcrete5は本来入りません。concrete5というフォルダごとアップロードすると入ってしまいます。

すでにconcrete5というフォルダに設置してしまった場合でも、concrete5のバージョン5.5以降であれば、単にconcrete5フォルダの中身を全て1階層上に移動するだけでOKです。

うまくいかないので確認してみると、5.4.2.2-0でした。
新しいバージョン探してアップロードしてみます。

5.5未満であれば、 concrete/config/site.php 内の

define('DIR_REL', '/concrete5');

を

define('DIR_REL', '');

に変更すればいけます。