アドオンなどのデータもデータベースに入っていますので、
保持したまま再インストールは難しいです。

解決策としてはエラーが起こっているブロックのみ取り除くのがいいと思いますが、
どのようなエラーメッセージが出ますか？

お返事ありがとうございます。大変助かります。
Fancy Image Links というアドオンが不良のようです。

Warning: require_once(/～/public_html/packages/fancy_image_links/blocks/fancy_image_links/controller.php) [function.require-once]: failed to open stream: No such file or directory in /～/public_html/updates/concrete5.6.3.1.ja/concrete/core/libraries/loader.php on line 217

Fatal error: require_once() [function.require]: Failed opening required '/～/public_html/packages/fancy_image_links/blocks/fancy_image_links/controller.php' (include_path='/～/public_html/libraries/3rdparty:/～/public_html/updates/concrete5.6.3.1.ja/concrete/libraries/3rdparty:.:/usr/lib/php:/usr/local/lib/php') in /～/public_html/updates/concrete5.6.3.1.ja/concrete/core/libraries/loader.php on line 217

※ 最初は 5.6.1.2 だったものを、updates フォルダへ concrete5.6.3.1.ja を入れてアップデートを実行。

あと、放っておく分には問題ないのですが、Silence Theme V1.3.2 というテーマもアップデート不良になってしまいまして、プレビューしようとすると以下のようなエラーで適用できず。

予期せぬエラーが発生しました。
/～/public_html/updates/concrete5.6.3.1.ja/concrete/packages/theme_silence/themes/silence にテーマがありません

かといって削除しようにも、以下のようなエラーで再インストールもできず。

Fatal error: Call to a member function getPackageItems() on a non-object in /～/public_html/updates/concrete5.6.3.1.ja/concrete/core/controllers/single_pages/dashboard/pages/themes.php on line 69

恐縮ながら、これを取り除く方法も可能であればお願い致します。

ファイルがないということなので、まずは、[管理画面→システムと設定→キャッシュのクリア]を実行してみてください。
それでも改善されないようであれば、FTPでアドオンの再アップロードが必要かもしれません。

キャッシュのクリア

だめでした。(-_-;)

FTPでアドオンの再アップロード

はい、手動で上書きインストールしてしまえば綺麗に戻るはずですよね。ちなみに、テーマやアドオンのファイル一式はどこで手に入るのでしょうか？

いろんな可能性があるので下記で解消されるかわかりませんが

アドオンのアップロード先はconcrete5をインストールされたフォルダ内のpackagesフォルダ内に全てあります。
有料ではない場合、concrete5本家サイトhttp://www.concrete5.org/marketplace/addons からダウンロードできますのでそれをFTPでアップロードする形になります。

あーよかったです。Fancy Image Links だけでも元に戻りました。
有料テーマ Silence の方はダウンロードできないので、一時的にライセンスを別サイトに紐付けてアップロードしてとか、なんとか模索してみます。
この度はありがとうございました。

もしかすると、files/trashフォルダにあるかもしれません。一度探してみてください。

あー、ありました！
はい、全部解決しました。＼(^　^)／ ありがとうございました！

一回で説明できず申し訳ありませんでした。
また、インストールされているバージョンと、packagesフォルダのアドオンのバージョンが一緒かどうかもチェックしておいてください。
アドオンのバージョンの確認方法
・インストールされているバージョン　[管理画面→concrete5を拡張] で表示される一覧表の末尾の部分
・packagesフォルダの各アドオンのcontroller.php の
protected $pkgVersion = 'xx.xx'; と書かれているxx.xxの部分

上記に相違がある場合はアドオンがうまく動作しない可能性があります。ご注意ください。

いえいえ、とんでもありません、恐縮です。

はい、バージョンの整合性も確認しました。
これでひと安心です。ありがとうございました。