度々情報ありがとうございます。

バージョンの違いなのか、若干異なる場所でしたが、該当する処理がありました。
concrete/helpers/file.php
FileHelper#getContents

$contents = @file_get_contents($file, 0, $ctx)
は、String(0) "" でした。

$contents = curl_exec($curl_handle);
も同じくなのですが、
$http_code = curl_getinfo($curl_handle, CURLINFO_HTTP_CODE);
が「301」でした・・・

かなり強引ですが、1行目に
$file = 'http://concrete5-japan.org/files/2514/0000/6396/concrete5.6.3.1.ja_updater.zip';
と、書いたら、ダウンロード・アップデートに成功しました。

ということで、当方環境では、リダイレクトを適切に処理できないようでした。
PHP が「with Suhosin-Patch 0.9.7」な環境なので、この辺りですかね。